期中考试题：证明连通集可以不道路连通。我当时说的并不严谨，但也蒙混过关了。答案语焉不详，感觉助教讲的和同学的方法又太烦了，我就写一下我的方法。
$\forall m>0$,$F=\{(x,nx^3) \vert x\ge 0,n\in \mathbb{N}^{*}\},A\subset\{(0,y)\vert y>m\}\ne \varnothing \implies F\cup A$ 不道路连通
$F\cup A$连通是上一问，不证了。
反证，对$(0,y)\in A$，取一条$(0,y)\to (0,0)$的道路，即一个连续的$f(t),f(0)=(0,y),f(1)=(0,0)$。$\implies \exists t_1, f(t_1)_x>0$（反证），由$f$连续，在$t_1$邻域内$f(t)_x>0$，于是$t_0:=\sup(t\vert t< t_1,f(t)_x=0)< t_1$，这就是说$f((t_0,t_1))_x>0$。显然$f(t_0)_x=0$（反证）。可以要求$\forall t<1,f(t)\ne (0,0)$（可以使用与上面类似的取$\inf(t\vert f(t)=(0,0))$的方法来证明）。由此知$f(t_0)\in A$。
取$g(t)=\dfrac{f(t)_ y}{f(t)_ x^3}$，于是$g$在$(t_0,t_1)$上有定义并且是连续函数，但由$F$的定义知道$g$取值恒为整数，因此$g$在$(t_0,t_1)$上为常数。下面证明$\lim_{t\to t_0^{+}}g=+\infty$，得到矛盾。
由$f$连续，$\forall \epsilon>0$，$\exists \delta, \forall t_ 0< t< t_ 0+\delta, f(t)_ x<\epsilon,f(t)_ y>f(t_0)_ y-\epsilon>m-\epsilon$。于是$g(t)>\dfrac{m-\epsilon}{\epsilon^3}$，也就是$\lim\inf_{t\to t_0^{+}}g\ge \dfrac{m-\epsilon}{\epsilon^3}$。但$\epsilon$任意小，于是这个下极限是$+\infty$。
2022.10.23 补充: “连通集”为何如此定义？
现在的数学分析还不如大一上的呢，实在是很无聊。于是忽然就想要写一下，关于上学期让我印象很深的一道错题的一些事。
大家现在都知道了，$X$是连通集的（拓扑的）定义是，$\forall A\subsetneq X,A\ne\varnothing$，不可能$A$和$X\setminus A$都是$X$中的开集。但这其实很难直观理解，下面我试图让它变成一个容易理解的事情。
说到“连通”时第一个想到的是什么呢？作为一个前OIer，至少我第一个想到的就是Flood fill。这才是关于“连通”的直观想法：如果往任何一个点（或者几个点、几片区域）泼水，水都能充满整个空间。那该如何用数学的语言描述这件事呢？
我们把“有水的点的集合”记作$A$。由于我们真的泼了水，有$A\ne \varnothing$。水（忽略表面张力）不会限制在一个点不动，如果$x$点有水，$x$点的“周围”任何方向也必须要有水；同时，如果$x$点附近一旦随便存在一个方向有水，$x$点也必须要有水。而后面这句话就是说，$x$点一旦没有水，它的“附近”一定也不会有水。
不难看出，这实际上就是说，$A$和$X\setminus A$都是$X$中的开集。我们得出的结论是“$X$中会充满水”，即$A=X$。因此，我们的这个“泼水连通”，就是真正的“连通”的逆否命题！
用这种思路，就能严谨化一些推理。比如现在设$X$是连通集，$f\in C(X)$，$f(x)\in \mathbb{R}$（其实任意豪斯多夫空间都行），$\exists x\in X, f(x)=k$；并且$\forall x\in f^{-1}(k),\exists B(x),f(B(x))\equiv k$，要证明$f(X)\equiv k$。这就像是一个写DFS给图染色的过程，我们选择一个点$x$，给它染上颜色$k$，然后再对与$x$相邻的所有（尚未访问过）的点，递归重复这个过程。如果是一张连通图，当然会染上同一种颜色。然而，这只是一个感性理解。
如何严谨地证明呢？设$A=f^{-1}(k)$，给出的条件说明$A$就是$X$中的开集。同时，注意到$f(X)\setminus\{k\}$是$f(X)$中的开集，根据$f$是连续的，必然有$X\setminus A=f^{-1}(f(X)\setminus \{k\})$是$X$中的开集。而$A\ne\varnothing$，$X$连通，于是只能是$A=X$。证毕。
有趣的一点是，我们DFS的感性理解里并没有用到$f$是连续的这个条件，然而严谨证明里用到了。那这个条件是否是必要的呢？
反例是容易举出的。比如我们假设$X=\mathbb{R}$，$f(x)=[\vert x\vert<1]$，$k=1$。从这个反例中就能看出，我们之前的感性理解错在哪里：如果一个点离“边缘”越近，它的“相邻”的点范围就越小，可能永远无法突破“边缘”。那么如果强制所有点的“邻域”都有一致的大小，也就是$\exists \delta>0,\forall x\in f^{-1}(k),f(B_\delta(x)\cap X)\equiv k$，这样就能成立了吗？
确实，加上这个限制之后，就能保证$f(X)\equiv k$了。注意到如果$f(x)\ne k$，必然$\forall y\in B_\delta(x\cap X),f(y)\ne k$（如果有$f(y)=k$，由于$x\in B_\delta(y\cap X)$，必然有$f(x)=k$，矛盾），因此$X\setminus A$是$X$中的开集。因此得证。
