本文试图推导出使用参数方程或函数表达式计算曲率半径的公式，并且证明：曲率半径与曲线上点的运动情况无关。
一个引理
\[\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1} \newcommand\B[1]{\mathbf{#1}} (\B{a}\cdot\B{b})^2+(\B{a}\times\B{b})^2=\B{a}^2\B{b}^2\]证明：设$\theta$为$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的夹角
\[\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1} \newcommand\B[1]{\mathbf{#1}} \newcommand\abs[1]{\left\vert #1 \right\vert} \B{a}\cdot \B{b}=\abs{\B{a}}\abs{\B{b}}\cos{\theta}\\ \abs{\B{a}\times \B{b}}=\abs{\B{a}}\abs{\B{b}}\sin{\theta}\\ (\B{a}\cdot\B{b})^2+(\B{a}\times\B{b})^2=\B{a}^2\B{b}^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=\B{a}^2\B{b}^2\]使用参数方程的公式推导
这是我很久很久以前就完成过的推导，除了最后一步。（当时我不知道可以写成叉积）
遵照惯例，我们记$\mathbf{v}=\left(\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t},\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right),\mathbf{a}=\left(\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}t^2},\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}t^2}\right)$。回忆圆周运动的向心加速度公式$a=\dfrac{v^2}{r}$，曲率半径就是速度的平方除以法向加速度。而根据正交投影，显然法向加速度为$\mathbf{a}-\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}^2}\mathbf{v}$，所以
\[\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1} \newcommand\B[1]{\mathbf{#1}} \newcommand\abs[1]{\left\vert #1 \right\vert} \begin{aligned} r^2&=\frac{(\B{v^2})^2}{\left(\B{a}-\dfrac{\B{a}\cdot\B{v}}{\B{v}^2}\B{v}\right)^2}\\ &=\frac{(\B{v^2})^4}{\left(\B{v}^2\B{a}-(\B{a}\cdot\B{v})\B{v}\right)^2}\\ &=\frac{(\B{v^2})^4}{(\B{v}^2)^2\B{a}^2+(\B{a}\cdot\B{v})^2\B{v}^2-2\B{v}^2(\B{a}\cdot\B{v})^2}\\ &=\frac{(\B{v^2})^3}{\B{v}^2\B{a}^2+(\B{a}\cdot\B{v})^2-2(\B{a}\cdot\B{v})^2}\\ &=\frac{(\B{v^2})^3}{\B{v}^2\B{a}^2-(\B{a}\cdot\B{v})^2}=\frac{(\B{v^2})^3}{(\B{a}\times\B{v})^2}\\ r&=\frac{(\B{v^2})^\frac{3}{2}}{\abs{\B{a}\times\B{v}}} \end{aligned}\]使用函数表达式的公式推导
这个简单，因为函数毕竟只是参数方程的一个特例。令$x(t)=t,y(t)=f(t)$，我们就把函数写成了参数方程。此时$\mathbf{v}=(1,f’(x)),\mathbf{a}=(0,f’‘(x))$。直接带入上式可以得到
\[\newcommand\abs[1]{\left\vert #1 \right\vert} r=\frac{\left(1+f'(x)^2\right)^\frac{3}{2}}{\abs{f''(x)}}\]然而我们还需要证明这个公式不只对$x$方向上匀速的运动有效，才能真正使用它。
证明曲率半径和运动情况无关
这件事我本来一直不能理解。直到今天看snz学习数学分析，我忽然就懂了。换句话说，我们要证明$r$恒为$\newcommand\abs[1]{\left\vert #1 \right\vert}\dfrac{\left(1+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\abs{\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}}}$。
而$\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1}\newcommand\dd[2]{\dfrac{\D{#1}}{\D{#2}}}\dd{y}{x}=\dd{y}{t}/\dd{x}{t}$，
\[\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1} \newcommand\dd[2]{\dfrac{\D{#1}}{\D{#2}}} \begin{aligned} \dfrac{\D^2{y}}{\D{x^2}}&=\dfrac{\D{}}{\D{x}}\left(\dd{y}{x}\right)\\ &=\dfrac{\D{}}{\D t}\left(\dd{y}{x}\right)/\dd{x}{t}\\ &=\dfrac{\D{}}{\D t}\left(\dd{y}{t}/\dd{x}{t}\right)/\dd{x}{t}\\ &=\dfrac{\dd{x}{t}\dfrac{\D^2{y}}{\D{t^2}}-\dd{y}{t}\dfrac{\D^2{x}}{\D{x^2}}}{\left(\dd{x}{t}\right)^2}/\dd{x}{t}\\ &=\dfrac{\dd{x}{t}\dfrac{\D^2{y}}{\D{t^2}}-\dd{y}{t}\dfrac{\D^2{x}}{\D{t^2}}}{\left(\dd{x}{t}\right)^3} \end{aligned}\]所以
\[\newcommand\D[1]{\textrm{d} #1} \newcommand\dd[2]{\dfrac{\D{#1}}{\D{#2}}} \newcommand\abs[1]{\left\vert #1 \right\vert} \begin{aligned} r&=\frac{(\B{v^2})^\frac{3}{2}}{\abs{\B{a}\times\B{v}}}\\ &=\frac{\left(\left(\dd{x}{t}\right)^2+\left(\dd{y}{t}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\abs{\dd{x}{t}\dfrac{\D^2{y}}{\D{t^2}}-\dd{y}{t}\dfrac{\D^2{x}}{\D{t^2}}}}\\ &=\frac{\left(1+\left(\dd{y}{t}/\dd{x}{t}\right)^2\right)^\frac{3}{2}\left(\dd{x}{t}\right)^3}{\abs{\dd{x}{t}\dfrac{\D^2{y}}{\D{t^2}}-\dd{y}{t}\dfrac{\D^2{x}}{\D{t^2}}}}\\ &=\dfrac{\left(1+\left(\dd{y}{x}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\abs{\dfrac{\D^2{y}}{\D{x^2}}}} \end{aligned}\]这就完成了证明。可惜这样做让人感觉非常暴力，然而我不知道有什么优美的做法。
