\[\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{n}\cos{(kx)}&=\Re\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}\right) \\
&=\Re\left(\frac{1-e^{ix(n+1)}}{1-e^{ix}}\right) \\
&=\Re\left(\frac{1-\cos((n+1)x)-i\sin((n+1)x)}{1-\cos(x)-i\sin(x)}\right) \\
&=\frac{(1-\cos((n+1)x))(1-\cos(x))+\sin((n+1)x)\sin(x)}{(1-\cos(x))^2+\sin(x)^2} \\
&=\frac{1-\cos((n+1)x)-\cos(x)+\cos(nx)}{2-2\cos(x)} \\
&=\frac12\left(1+\frac{\cos(nx)-\cos((n+1)x)}{1-\cos(x)}\right) \\
&=\frac12+\frac{\sin((n+\frac12)x)\sin(\frac x2)}{1-\cos(x)}
\end{aligned}\]
一个相当平凡的推导，然而发现自己对于三角函数那套理论已经几乎忘光了$\dots$
第一个等号，就是$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$。
第二个等号，等比数列求和。
第三个等号，还是$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$。
第四个等号，复数的除法公式，来自维基百科。$\frac{(a+b i)}{(c+d i)}=\frac{(a+b i)(c-d i)}{(c+d i)(c-d i)}=\frac{a c+b c i-a d i-b d i^{2}}{c^{2}-(d i)^{2}}=\frac{(a c+b d)+(b c-a d) i}{c^{2}+d^{2}}=\left(\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}\right)+\left(\frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}}\right) i$
第五个等号，分母上是$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$，分子上首先展开了前面的乘积，然后使用了$\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)=\cos(x-y)$。
第六个等号，整理一下。
第七个等号，和差化积，$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin{(\frac{x+y}{2})}\sin{(\frac{x-y}{2})}$，就和常见的答案形式相同了。
