n∑k=0cos(kx)=ℜ(n∑k=0eikx)=ℜ(1−eix(n+1)1−eix)=ℜ(1−cos((n+1)x)−isin((n+1)x)1−cos(x)−isin(x))=(1−cos((n+1)x))(1−cos(x))+sin((n+1)x)sin(x)(1−cos(x))2+sin(x)2=1−cos((n+1)x)−cos(x)+cos(nx)2−2cos(x)=12(1+cos(nx)−cos((n+1)x)1−cos(x))=12+sin((n+12)x)sin(x2)1−cos(x)
一个相当平凡的推导，然而发现自己对于三角函数那套理论已经几乎忘光了…
第一个等号，就是eix=cos(x)+isin(x)。
第二个等号，等比数列求和。
第三个等号，还是eix=cos(x)+isin(x)。
第四个等号，复数的除法公式，来自维基百科。(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bci−adi−bdi2c2−(di)2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=(ac+bdc2+d2)+(bc−adc2+d2)i
第五个等号，分母上是cos2(x)+sin2(x)=1，分子上首先展开了前面的乘积，然后使用了cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)=cos(x−y)。
第六个等号，整理一下。
第七个等号，和差化积，cos(x)−cos(y)=−2sin(x+y2)sin(x−y2)，就和常见的答案形式相同了。
